在3D中拟合一条线

Question

有没有什么算法可以从一组三维数据点中得到一条直线的方程？我能找到很多关于从二维数据集中得到直线方程的资料，但在三维方面却没有。

Answer 1

如果你的数据表现得比较正常，那么找到各个点到线的最小平方和就足够了。接着，你可以找到线性回归，让z与x无关，再让z与y无关。

根据文档中的例子：

import numpy as np

pts = np.add.accumulate(np.random.random((10,3)))
x,y,z = pts.T

# this will find the slope and x-intercept of a plane
# parallel to the y-axis that best fits the data
A_xz = np.vstack((x, np.ones(len(x)))).T
m_xz, c_xz = np.linalg.lstsq(A_xz, z)[0]

# again for a plane parallel to the x-axis
A_yz = np.vstack((y, np.ones(len(y)))).T
m_yz, c_yz = np.linalg.lstsq(A_yz, z)[0]

# the intersection of those two planes and
# the function for the line would be:
# z = m_yz * y + c_yz
# z = m_xz * x + c_xz
# or:
def lin(z):
    x = (z - c_xz)/m_xz
    y = (z - c_yz)/m_yz
    return x,y

#verifying:
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
zz = np.linspace(0,5)
xx,yy = lin(zz)
ax.scatter(x, y, z)
ax.plot(xx,yy,zz)
plt.savefig('test.png')
plt.show()

如果你想最小化从线到三维空间中点的实际垂直距离（也就是与线垂直的距离），那么我建议你写一个函数来计算残差平方和（RSS），然后使用scipy.optimize中的最小化函数来解决这个问题。

Answer 2

如果你想通过两个值来预测第三个值，那么你应该使用 lstsq 这个方法，把 a 作为自变量（还要加一列全是1的数字来估算截距），把 b 作为因变量。

但是，如果你只是想找到一条最适合数据的直线，也就是那条如果把数据投影到上面，可以让实际点和它的投影之间的距离平方和最小的直线，那么你需要找的是第一主成分。

简单来说，第一主成分就是一条通过你数据的平均值的直线，它的方向是与协方差矩阵中最大特征值对应的特征向量。需要注意的是，使用 eig(cov(data)) 来计算这个主成分并不是个好方法，因为它会做很多不必要的计算和复制，而且可能不如使用 svd 来得准确。下面有示例：

import numpy as np

# Generate some data that lies along a line

x = np.mgrid[-2:5:120j]
y = np.mgrid[1:9:120j]
z = np.mgrid[-5:3:120j]

data = np.concatenate((x[:, np.newaxis], 
                       y[:, np.newaxis], 
                       z[:, np.newaxis]), 
                      axis=1)

# Perturb with some Gaussian noise
data += np.random.normal(size=data.shape) * 0.4

# Calculate the mean of the points, i.e. the 'center' of the cloud
datamean = data.mean(axis=0)

# Do an SVD on the mean-centered data.
uu, dd, vv = np.linalg.svd(data - datamean)

# Now vv[0] contains the first principal component, i.e. the direction
# vector of the 'best fit' line in the least squares sense.

# Now generate some points along this best fit line, for plotting.

# I use -7, 7 since the spread of the data is roughly 14
# and we want it to have mean 0 (like the points we did
# the svd on). Also, it's a straight line, so we only need 2 points.
linepts = vv[0] * np.mgrid[-7:7:2j][:, np.newaxis]

# shift by the mean to get the line in the right place
linepts += datamean

# Verify that everything looks right.

import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d as m3d

ax = m3d.Axes3D(plt.figure())
ax.scatter3D(*data.T)
ax.plot3D(*linepts.T)
plt.show()

这是它的样子：一条拟合线的三维图

在3D中拟合一条线

2 个回答

撰写回答