Python: 绘制带指数截止的幂律函数

Question

我有两个函数 f 和 g 之间的图形。
我知道这个图形遵循一种叫做幂律函数的规律，并且有一个指数截断。

f(x) = x**(-alpha)*e**(-lambda*x)

我该怎么找到指数 alpha 的值呢？

Answer 1

听起来你可能是在尝试将一个幂律模型应用到一个分布上，但这个分布在低值部分因为不完整而出现了指数截断——不过我可能对你的问题理解得有点过了。

如果这确实是你遇到的问题，这个网站（以及相关的出版物）可以帮助你解决这个问题：http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/powerlaws/。我在那个页面上写了幂律拟合器的Python实现，你可以从那里找到链接。

Answer 2

你想要做的事情一般来说是进行非线性回归（虽然有些人提到过，可以把问题变成线性的来处理）。在Python中，这个过程其实很简单，可以借助一个叫做SciPy的工具包，很多科学家都在用它。

你需要找的功能是它的最小二乘优化例程（scipy.optimize.leastsq）。一旦你理解了这个优化过程是怎么运作的（可以参考一下例子），你会发现还有很多其他地方可以用到它。简单来说，你需要计算你测量值和理想值f(x)之间的差异，然后请SciPy帮你找到那些能让这些差异尽可能小的参数，这样你的数据就能尽量贴合模型。最终，这样你就能得到你想要的参数了。

Answer 3

如果你的x点之间的距离很近（比如每0.1一个点），你可以试试下面的方法：

ln(f(x)) = -alpha ln(x) - lambda x
ln(f(x))' = - alpha / x - lambda

根据你点的位置不同，如果你有很多点靠近0，你可以尝试：

h(x) = x ln(f(x))' = -alpha - lambda x

所以当x接近0时，函数h的极限是-α。如果x的值很大，函数x -> ln(f(x))'在x趋向于无穷大时会接近λ，所以你可以猜测λ并使用pwdyson的表达式。

如果你的x点不够近，数值导数会变得很嘈杂，所以我建议你可以猜测λ，方法是计算-ln(f(x)/x在大x值下的极限...

如果你没有很大的值，但有很多x点，你可以尝试对

sum_x_i (ln(y_i) + alpha ln(x_i) + lambda x_i) ^2

同时对α和λ进行最小化（我觉得这样会比最初的表达式更准确）...这其实就是一个简单的最小二乘回归（numpy.linalg.lstsq可以完成这个工作）。所以你有很多方法可以选择，具体用哪种方法真的取决于你的输入数据。