计算三次B样条的长度
我在使用scipy的interpolate.splprep函数来获取一个参数样条曲线，这个曲线是基于参数u的。不过，u的范围并不是样条曲线的线积分，而是输入坐标之间的分段线性连接。我试过integrate.splint，但它只给出了u上的各个积分。显然，我可以通过数值方法计算一堆笛卡尔坐标的微分距离，但我在想，是否有一种封闭形式的方法可以直接得到样条曲线或样条段的长度（使用scipy或numpy），而我可能忽略了。
补充说明：我在寻找一种封闭形式的解决方案，或者一种非常快速的方法来得到机器精度的答案。我几乎放弃了数值根查找的方法，现在主要想要一个封闭形式的答案。如果有人有经验处理椭圆函数的积分，或者能推荐一个好的资源（除了Wolfram），那就太好了。
我打算尝试Maxima，看看能否得到我认为是样条曲线一个段的函数的不定积分：我在MathOverflow上也发了这个问题。
2 个回答
你可以对这个函数 sqrt(x'(u)**2+y'(u)**2) 进行积分，里面的 u 是一个变量。在这个函数中，x' 和 y' 是你坐标的导数，你可以用 scipy.interpolate.splev 来计算它们。积分可以使用 scipy.integrate 中的某个方法来完成，比如 quad 方法比较精确（使用的是 Clenshaw-Curtis 方法），而 romberg 方法通常会更快。这样做应该比把很多小距离加起来更精确，也可能更快（因为把小距离加起来相当于用矩形法进行积分）。
因为 x 和 y 都是三次参数函数，所以没有简单的公式可以直接算出结果。我们需要用数值积分的方法来解决这个问题。可以选择积分弧长的表达式，或者直接把线段的长度加起来，这取决于你想要的准确度和你愿意付出的努力。
一种准确且快速的“加线段长度”方法：
使用递归细分（这是一种 de Casteljeau 算法的形式）来生成点，可以用很少的点得到非常准确的表示。只有在细分的部分不符合某个标准时，才进行进一步的细分。通常这个标准是基于连接控制点的长度（也叫外壳或笼子）。
对于三次曲线，通常是比较 P0P1 + P1P2 + P2P3 的长度与 P0P3 的长度，P0、P1、P2 和 P3 是定义你贝塞尔曲线的控制点。
你可以在这里找到一些 Delphi 代码：链接文本
把这些代码转换成 Python 应该相对简单。它会生成点，并且代码已经计算了线段的长度，以便测试标准。你可以在这个过程中简单地累加这些长度值。