添加维度不同的数组

Question

假设我有一个二维的Numpy数组：

>>> a = np.random.random((4,6))

我想把一个一维数组加到每一行：

>>> c = np.random.random((6,))
>>> a + c

这样做是可以的。但是如果我想把一个一维数组加到每一列，就会出错：

>>> b = np.random.random((4,))
>>> a + b
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: shape mismatch: objects cannot be broadcast to a single shape

我可以通过使用 np.newaxis 来解决这个问题：

>>> a + b[:,np.newaxis]

这样就能按预期工作了。

那么，怎样的形状匹配规则可以避免使用np.newaxis呢？是不是说Numpy数组形状的最后一个元素必须匹配？这个规则在更高维度的情况下也适用吗？比如，下面这个是可以的：

>>> a = np.random.random((2,3,4,5))
>>> b = np.random.random((4,5))
>>> a + b

所以我的问题是，这些规则有没有地方可以查到？这种行为是否可靠，还是说最好总是使用np.newaxis？

Answer 1

让我看看我是否理解了...

>>> from numpy import ones, newaxis
>>> A = ones((4,3))   # 4 rows x 3 cols
>>> A.shape
(4, 3)
>>> A
array([[ 1.,  1.,  1.],
       [ 1.,  1.,  1.],
       [ 1.,  1.,  1.],
       [ 1.,  1.,  1.]])
>>> 
>>> ones((4,1))      # 4 rows x 1 col
array([[ 1.],
       [ 1.],
       [ 1.],
       [ 1.]])
>>> A + ones((4,1))
array([[ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.]])
>>> 
>>> ones((1,3))      # 1 row x 3 cols
array([[ 1.,  1.,  1.]])
>>> A + ones((1,3))  
array([[ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.]])
>>> 
>>> B = ones((3,))   # a 1D array
>>> B
array([ 1.,  1.,  1.])
>>> B.shape
(3,)
>>> A + B
array([[ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.]])
>>> 
>>> C = ones((4,))   # a 1D array
>>> C.shape
(4,)
>>> C
array([ 1.,  1.,  1.,  1.])
>>> A + C
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: shape mismatch: objects cannot be broadcast to a single shape
>>> 
>>> D = C[:,newaxis]
>>> D.shape
(4, 1)
>>> A + D
array([[ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.],
       [ 2.,  2.,  2.]])

当我们要把一个4行3列的矩阵和一个有3个元素的一维数组相加时，这个操作是成功的。

但是，如果我们想把同样的4行3列的矩阵和一个有4个元素的一维数组相加，那就失败了。

>>> D = C[:,newaxis]

这个操作会把C转换成一个形状合适的二维矩阵。

Answer 2

这是numpy的一个独特功能，叫做“广播”： 如果你可以把一个向量和一个标量相乘，那为什么不可以把一个矩阵和一个向量相乘呢？就像在第一个情况下，向量的每个元素都和标量相乘一样，在第二种情况下，矩阵每一行的每个单元格都和对应的向量元素相乘。

广播的实现有四条规则，虽然这些规则的表述有点复杂，但一旦理解后其实很直观：

1. 所有维度ndim小于最大ndim的输入数组，其形状前面会加上1。
2. 输出形状每个维度的大小是所有输入在该维度的大小中的最大值。
3. 如果某个输入在特定维度的大小要么和输出在该维度的大小相同，要么大小为1，那么这个输入就可以参与计算。
4. 如果某个输入在其形状的某个维度的大小为1，那么在该维度的所有计算中都会使用该维度的第一个数据项。换句话说，ufunc的计算不会在这个维度上移动（该维度的步长为0）。

例如，

在以下三种情况下，这种操作是可能的（不会出现你提到的shape mismatch错误）：

1. 所有数组的形状完全相同。
2. 所有数组的维度数量相同，并且每个维度的长度要么是相同的长度，要么是1。
3. 维度过少的数组可以在其形状前面加上一个长度为1的维度，以满足第二条规则。

更多的例子可以在我最近的关于广播的文章中找到 [1] 或者在官方文档中 [2]。

参考资料

1. NumPy中的广播，2021 https://towardsdatascience.com/58856f926d73
2. NumPy参考。广播 http://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/ufuncs.html#broadcasting