如何在Python中绘制解矩阵耦合微分方程时的特征值？

Question

假设我们有三个复杂的矩阵，还有一个由这些矩阵组成的耦合微分方程系统。

import numpy, scipy
from numpy import (real,imag,matrix,linspace,array)
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt


def system(x,t):

    a1= x[0];a3= x[1];a5= x[2];a7= x[3];
    a2= x[4];a4= x[5];a6= x[6];a8= x[7];
    b1= x[8];b3= x[9];b5= x[10];b7= x[11];
    b2= x[12];b4= x[13];b6= x[14];b8= x[15];
    c1= x[16];c3= x[17];c5= x[18];c7= x[19];
    c2= x[20];c4= x[21];c6= x[22];c8= x[23];

    A= matrix([ [a1+1j*a2,a3+1j*a4],[a5+1j*a6,a7+1j*a8] ])  
    B= matrix([ [b1+1j*b2,b3+1j*b4],[b5+1j*b6,b7+1j*b8] ])
    C= matrix([ [c1+1j*c2,c3+1j*c4],[c5+1j*c6,c7+1j*c8] ])

    dA_dt= A*C+B*C
    dB_dt= B*C
    dC_dt= C

    list_A_real= [dA_dt[0,0].real,dA_dt[0,1].real,dA_dt[1,0].real,dA_dt[1,1].real]
    list_A_imaginary= [dA_dt[0,0].imag,dA_dt[0,1].imag,dA_dt[1,0].imag,dA_dt[1,1].imag]

    list_B_real= [dB_dt[0,0].real,dB_dt[0,1].real,dB_dt[1,0].real,dB_dt[1,1].real]
    list_B_imaginary= [dB_dt[0,0].imag,dB_dt[0,1].imag,dB_dt[1,0].imag,dB_dt[1,1].imag]

    list_C_real= [dC_dt[0,0].real,dC_dt[0,1].real,dC_dt[1,0].real,dC_dt[1,1].real]
    list_C_imaginary= [dC_dt[0,0].imag,dC_dt[0,1].imag,dC_dt[1,0].imag,dC_dt[1,1].imag]

    return list_A_real+list_A_imaginary+list_B_real+list_B_imaginary+list_C_real+list_C_imaginary



t= linspace(0,1.5,1000)
A_initial= [1,2,2.3,4.3,2.1,5.2,2.13,3.43]
B_initial= [7,2.7,1.23,3.3,3.1,5.12,1.13,3]
C_initial= [0.5,0.9,0.63,0.43,0.21,0.5,0.11,0.3]
x_initial= array( A_initial+B_initial+C_initial )
x= odeint(system,x_initial,t)

plt.plot(t,x[:,0])
plt.show()

我基本上有两个问题：

1. 如何简化我的代码？ 这里的简化是指，有没有办法在解决常微分方程系统时，不需要把所有的组件单独写出来，而是直接处理这些矩阵？

2. 我想知道，如何绘制矩阵的特征值（绝对值），而不是绘制矩阵的元素相对于t（我代码的最后两行）？比如说，绘制矩阵A的特征值的绝对值作为t的函数。

Answer 1

今年早些时候，我创建了一个工具，方便使用 scipy.integrate.odeint 来解决复杂的数组微分方程。你可以在这里查看这个工具的全部内容：https://github.com/WarrenWeckesser/odeintw

你可以通过 git 来获取整个包，并使用 setup.py 脚本进行安装，或者你也可以直接下载一个重要的文件，_odeintw.py，把它重命名为 odeintw.py，然后复制到你需要的地方。接下来的脚本使用 odeintw.odeintw 函数来解决你的系统。它通过将你的三个矩阵 A、B 和 C 堆叠成一个形状为 (3, 2, 2) 的三维数组 M 来使用 odeintw。

你可以使用 numpy.linalg.eigvals 来计算 A(t) 的特征值。这个脚本展示了一个例子和一个图表。特征值是复数的，所以你可能需要多尝试几种方法来找到一个好的可视化方式。

import numpy as np
from numpy import linspace, array
from odeintw import odeintw
import matplotlib.pyplot as plt


def system(M, t):
    A, B, C = M
    dA_dt = A.dot(C) + B.dot(C)
    dB_dt = B.dot(C)
    dC_dt = C
    return array([dA_dt, dB_dt, dC_dt])


t = np.linspace(0, 1.5, 1000)

#A_initial= [1, 2, 2.3, 4.3, 2.1, 5.2, 2.13, 3.43]
A_initial = np.array([[1 + 2.1j, 2 + 5.2j], [2.3 + 2.13j, 4.3 + 3.43j]])

# B_initial= [7, 2.7, 1.23, 3.3, 3.1, 5.12, 1.13, 3]
B_initial = np.array([[7 + 3.1j, 2.7 + 5.12j], [1.23 + 1.13j, 3.3 + 3j]])

# C_initial= [0.5, 0.9, 0.63, 0.43, 0.21, 0.5, 0.11, 0.3]
C_initial = np.array([[0.5 + 0.21j, 0.9 + 0.5j], [0.63 + 0.11j, 0.43 + 0.3j]])

M_initial = np.array([A_initial, B_initial, C_initial])
sol = odeintw(system, M_initial, t)

A = sol[:, 0, :, :]
B = sol[:, 1, :, :]
C = sol[:, 2, :, :]

plt.figure(1)
plt.plot(t, A[:, 0, 0].real, label='A(t)[0,0].real')
plt.plot(t, A[:, 0, 0].imag, label='A(t)[0,0].imag')
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.xlabel('t')

A_evals = np.linalg.eigvals(A)

plt.figure(2)
plt.plot(t, A_evals[:,0].real, 'b.', markersize=3, mec='b')
plt.plot(t, A_evals[:,0].imag, 'r.', markersize=3, mec='r')
plt.plot(t, A_evals[:,1].real, 'b.', markersize=3, mec='b')
plt.plot(t, A_evals[:,1].imag, 'r.', markersize=3, mec='r')
plt.ylim(-200, 1200)
plt.grid(True)
plt.title('Real and imaginary parts of the eigenvalues of A(t)')
plt.xlabel('t')
plt.show()

以下是脚本生成的图表：