Python中的对数正态分布

Question

我在StackOverflow上看到过几个关于如何拟合对数正态分布的问题。不过我还有两个地方需要澄清一下。

我有一组样本数据，它的对数值是符合正态分布的。所以我可以用scipy.stats.lognorm.fit来拟合这些数据（也就是对数正态分布）。

拟合效果很好，还给了我标准差。下面是我的代码和结果。

import numpy as np
from scipy import stats

sample = np.log10(data) #taking the log10 of the data

scatter,loc,mean = stats.lognorm.fit(sample) #Gives the paramters of the fit 

x_fit = np.linspace(13.0,15.0,100)
pdf_fitted = stats.lognorm.pdf(x_fit,scatter,loc,mean) #Gives the PDF

print "scatter for data is %s" %scatter
print "mean of data is %s" %mean  

结果

scatter for data is 0.186415047243
mean for data is 1.15731050926

从图片中可以明显看到，均值大约是14.2，但我得到的是1.15？？！！这是为什么呢？很明显，log(均值)也没有接近14.2！！

在这篇文章和这个问题中提到，log(均值)才是真正的均值。

但是你可以从我上面的代码看到，我得到的拟合是基于sample = log(data)，而且似乎也拟合得很好。不过当我尝试

sample = data
pdf_fitted = stats.lognorm.pdf(x_fit,scatter,loc,np.log10(mean))

拟合似乎就不太成功了。

1) 为什么均值不是14.2？

2) 如何绘制填充/绘制垂直线来显示1个标准差的置信区间？

Answer 1

你说

我有一组样本数据，它的对数遵循正态分布。

假设 data 是包含这些样本的数组。要使用 scipy.stats.lognorm 将这些数据拟合到对数正态分布，可以这样做：

s, loc, scale = stats.lognorm.fit(data, floc=0)

现在假设 mu 和 sigma 是基础正态分布的均值和标准差。要从这个拟合中得到这些值的估计，可以使用：

estimated_mu = np.log(scale)
estimated_sigma = s

（这些不是 data 中样本的均值和标准差的估计值。有关对数正态分布的均值和方差的公式，请查看 维基百科页面。）

要将直方图和概率密度函数（PDF）结合在一起，你可以使用，例如：

import matplotlib.pyplot as plt.

plt.hist(data, bins=50, normed=True, color='c', alpha=0.75)
xmin = data.min()
xmax = data.max()
x = np.linspace(xmin, xmax, 100)
pdf = stats.lognorm.pdf(x, s, scale=scale)
plt.plot(x, pdf, 'k')

如果你想查看数据的对数，可以做类似下面的操作。注意这里使用的是正态分布的PDF。

logdata = np.log(data)
plt.hist(logdata, bins=40, normed=True, color='c', alpha=0.75)
xmin = logdata.min()
xmax = logdata.max()
x = np.linspace(xmin, xmax, 100)
pdf = stats.norm.pdf(x, loc=estimated_mu, scale=estimated_sigma)
plt.plot(x, pdf, 'k')

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顺便提一下，使用 stats.lognorm 拟合的替代方法是使用 stats.norm.fit 拟合 log(data)：

logdata = np.log(data)
estimated_mu, estimated_sigma = stats.norm.fit(logdata)

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