为什么healpix的"alm"例程返回相同长度的l和m数组？

Question

根据我对量子物理和大学数学的记忆，对于每一个模式 l，都会有 m = l-1, l, l+1。但是，为什么在使用 healpix（在我的例子中，特别是 healpy）的球面调和函数时，比如 healpy.sphtfunc.alm2map，返回的 l 和 m 数组长度是一样的呢？

Answer 1

安德烈亚·宗卡的回答中缺少的一些要点：

• 对于每一个模式 l，m 的范围实际上是从 -l 到 +l（所以总共有 2l+1 个值）。但是我们处理的是实数信号，对于相反的 m，alm 是复共轭的，因此 HEALPix 不会存储 m<0 的 alm 值（所以只存储 l+1 个）。
• 在 hp.map2alm 返回的 alm 数组中，安德烈亚的例子显示，数组的顺序是先按 m 从小到大排列，然后再按 l 从小到大排列。你不需要自己去记索引，如果想知道数组 alm 中 (l≥0,m≥0) 的位置，可以使用方便的函数 hp.Alm.getidx(lmax,l,m)，其中 lmax = hp.Alm.getlmax(len(alm))。

Answer 2

我想你说的是 map2alm。

我们来看一个例子：

import numpy as np
import healpy as hp
m = np.arange(12) # define a map
lmax = 2
alm = hp.map2alm(m, lmax=lmax) # spherical armonic transform
print(alm)
[  1.94198894e+01 +0.00000000e+00j  -1.22780488e+01 +0.00000000e+00j
  -3.22928935e-01 +0.00000000e+00j   6.85510448e-01 -2.13069336e+00j
   4.66136940e-16 +6.36302781e-18j  -6.44680479e-01 +1.16180552e+00j]
print(alm.shape)
(6,)

所以 alm 实际上是一个一维的向量。

那 alm 是怎么索引的呢？

l, m = hp.Alm.getlm(lmax=lmax)
print(l)
[0 1 2 1 2 2]
print(m)
[0 0 0 1 1 2]

所以，对于 l = 2，m 的值是 [0, 1, 2]。

你可以在 HEALPix 的入门指南中了解更多信息：http://healpix.jpl.nasa.gov/pdf/intro.pdf