高斯滤波器和高斯核密度估计中sigma与带宽的关系

Question

使用 scipy.ndimage.filters.gaussian_filter 和 scipy.stats.gaussian_kde 这两个函数处理一组数据时，如果分别合理选择 sigma 和 bw_method 这两个参数，得到的结果可能会非常相似。

举个例子，我可以通过在 gaussian_filter 中设置 sigma=2.（左边的图）和在 gaussian_kde 中设置 bw_method=sigma/30.（右边的图）来获得一个随机的二维点分布的图像：

enter image description here

（最小可重现示例在问题底部）

这两个参数之间显然有关系，因为一个是对数据应用高斯滤波，另一个是使用高斯核密度估计。

每个参数的定义如下：

scipy.ndimage.filters.gaussian_filter 中的 sigma：

sigma：标量或标量序列，高斯核的标准差。高斯滤波器的标准差可以为每个轴提供一个序列，或者作为一个单一的数字，这种情况下所有轴的值是相等的。

这个定义我能理解，因为它涉及到高斯算子的定义：

enter image description here

scipy.stats.gaussian_kde 中的 bw_method：

bw_method：字符串、标量或可调用对象，选填。用于计算估计器带宽的方法。可以是‘scott’、‘silverman’、一个标量常数或一个可调用对象。如果是标量，这将直接用作 kde.factor。如果是可调用对象，它应该接受一个 gaussian_kde 实例作为唯一参数并返回一个标量。如果为 None（默认值），则使用‘scott’。更多细节请查看说明。

在这种情况下，假设 bw_method 的输入是一个标量（浮点数），以便与 sigma 进行比较。这里我就有点迷糊了，因为我找不到关于这个 kde.factor 参数的任何信息。

我想知道的是，如果可能的话，连接这两个参数（即：当使用浮点数时的 sigma 和 bw_method）的 精确数学公式。

最小可重现示例：

import numpy as np
from scipy.stats import gaussian_kde
from scipy.ndimage.filters import gaussian_filter
import matplotlib.pyplot as plt

def rand_data():
    return np.random.uniform(low=1., high=200., size=(1000,))

# Generate 2D data.
x_data, y_data = rand_data(), rand_data()
xmin, xmax = min(x_data), max(x_data)
ymin, ymax = min(y_data), max(y_data)

# Define grid density.
gd = 100
# Define bandwidth
bw = 2.

# Using gaussian_filter
# Obtain 2D histogram.
rang = [[xmin, xmax], [ymin, ymax]]
binsxy = [gd, gd]
hist1, xedges, yedges = np.histogram2d(x_data, y_data, range=rang, bins=binsxy)
# Gaussian filtered histogram.
h_g = gaussian_filter(hist1, bw)

# Using gaussian_kde
values = np.vstack([x_data, y_data])
# Data 2D kernel density estimate.
kernel = gaussian_kde(values, bw_method=bw / 30.)
# Define x,y grid.
gd_c = complex(0, gd)
x, y = np.mgrid[xmin:xmax:gd_c, ymin:ymax:gd_c]
positions = np.vstack([x.ravel(), y.ravel()])
# Evaluate KDE.
z = kernel(positions)
# Re-shape for plotting
z = z.reshape(gd, gd)

# Make plots.
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2)
# Gaussian filtered 2D histograms.
ax1.imshow(h_g.transpose(), origin='lower')
ax2.imshow(z.transpose(), origin='lower')

plt.show()

数据处理标准差数学公式高斯核密度估计高斯滤波 sigma 带宽参数关系

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