Mathematica与SciPy中特征向量变换的区别

Question

之前也有人问过类似的问题，但似乎没有人能解答我的例子。我使用Mathematica和SciPy计算了一个矩阵A的特征值和特征向量；特征值是一致的，但特征向量却不一样：

(1) 最小的特征值对应的特征向量是一致的。

(2) 其他对应的特征向量在Mathematica和SciPy中并不是通过一个简单的乘法关系联系在一起的。

(3) 我可以通过外积计算出一个变换矩阵T，把SciPy的特征向量转换为Mathematica的对应特征向量。

T = numpy.outer(MathematicaEigenvector, SciPyEigenvector)

这样

MathematicaEigenvector = numpy.dot(T, SciPyEigenvector)

我本来以为变换矩阵T对于所有SciPy和Mathematica的特征向量对应该是相同的，因为T只是将矩阵inv(T).A.T的特征向量与原始矩阵A的特征向量联系起来的矩阵。然而，对于每一对特征向量进行第(2)步时，得到的T矩阵却是不同的。

有人能解释一下这个问题吗？如果需要，我可以提供这些矩阵。

更新：以下是Python代码和矩阵：

S = [[0., -1, -1, -1, 0, 0, -1, 0, 0], 
    [-1, 0., -1, 0, -1, 0, 0, -1, 0], 
    [-1, -1, 0., 0, 0, -1, 0, 0, -1], 
    [-1, 0, 0, 0., -1, -1, -1, 0, 0], 
    [0, -1, 0, -1, 0., -1, 0, -1, 0], 
    [0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 0, -1], 
    [-1, 0, 0, -1, 0, 0, 0., -1, -1], 
    [0, -1, 0, 0, -1, 0, -1, 0., -1], 
    [0, 0, -1, 0, 0, -1, -1, -1, 0.]];

eig_val,eig_vec = scipy.linalg.eig(S)
idx = eig_val.argsort()
eig_val = np.array(eig_val[idx])
eig_vec = np.array(eig_vec[:,idx])

Mathematica的特征向量是：

[-0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333], 
[0.0385464, 0.570914,   0.371276, -0.570914, -0.0385464, -0.238184, -0.33273, 0.199638,   0.], 
[0.570246, -0.0269007, 0.197029,   0.0269007, -0.570246, -0.346316, 0.373217, -0.22393,   0.], 
[-0.0816497, 0.0816497, -0.489898, -0.0816497,   0.0816497, -0.489898, 0.408248, 0.571548,   0.], 
[-0.333333, -0.333333, 0.166667, -0.333333, -0.333333,   0.166667, 0.166667, 0.166667, 0.666667], 
[-0.288675, 0.288675,   2.498e-16, -0.288675, 0.288675, -1.94289e-16,   0.57735, -0.57735, 0.],
[-0.5, 0.5, -2.04678e-16, 0.5, -0.5,   2.41686e-16, -9.25186e-17, 5.55112e-17, 0.], 
[0.166667,   0.166667, -0.333333, 0.166667,   0.166667, -0.333333, -0.333333, -0.333333, 0.666667], 
[0.288675,   0.288675, -0.57735, -0.288675, -0.288675, 0.57735,   4.02456e-16, -2.08167e-16, 0.]

而SciPy的特征向量是：

[-0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333]
[ 0.12054181 -0.17813781  0.50013951  0.08577902 -0.21290061  0.4653767 -0.2872389  -0.58591853  0.0923588 ]
[ 0.12191583 -0.21327897  0.26215377 -0.28683603 -0.62203084 -0.1465981 0.35987707  0.02468226  0.500115  ]
[ 0.66666667  0.16666667  0.16666667  0.16666667 -0.33333333 -0.33333333 0.16666667 -0.33333333 -0.33333333]
[-0.16604424 -0.59504716 -0.43689399  0.43294845  0.00394553  0.16209871 0.43294845  0.00394553  0.16209871]
[-0.01305419  0.07446538 -0.0614112  -0.54881726  0.36347168  0.18534558 0.56187145 -0.43793706 -0.12393438]
[-0.66666667  0.33333333  0.33333333  0.33333333 -0.16666667 -0.16666667 0.33333333 -0.16666667 -0.16666667]
[-0.21052033  0.65306873 -0.4425484   0.10526016 -0.32653437  0.2212742 0.10526016 -0.32653437  0.2212742 ]
[-0.02303417  0.0714558  -0.04842162  0.09679298  0.41311466 -0.50990763 -0.0737588  -0.48457045  0.55832926]
[ 4.67737437  0.12612917  0.75157798 -0.09378424  0.91674876  2.36234989 1.03706802 -9.0725069   0.        ]

以上两个都是按照特征值的顺序排列的 [-4.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, 2.+0.j, 2.+0.j, 2.+0.j, 2.+0.j]

scipy 数值计算线性代数特征值矩阵变换特征向量 Mathematica 外积

Mathematica与SciPy中特征向量变换的区别

1 个回答

撰写回答