为什么在Python中使用math.sin(math.pi)会出错？

Question

我在使用 math.sin(math.pi) 的时候发现了一个问题。正常情况下，结果应该是 0，但实际上却得到了 1.2246467991473532e-16。
如果我用 math.sin(math.pi/2)，结果是 1.0，这个是对的。
那么，为什么会出现这个错误呢？

Answer 1

结果是正常的：在计算机中，数字通常用浮点数来表示，这种表示方式的精度是有限的（它们只占用几个字节存储）。这意味着浮点数只能表示有限数量的真实数字。特别是，π无法被精确表示，所以math.pi并不是π，而是一个非常接近它的近似值。这就是为什么math.sin(math.pi)不一定等于sin(π)，而只是一个非常接近的值。

你在math.sin(math.pi)中观察到的具体值是可以理解的：双精度浮点数的相对精度大约是1e-16。这意味着math.pi的值可能会有大约π*1e-16 ~ 3e-16的误差。由于sin(π-ε) ~ ε，所以你通过math.sin(math.pi)得到的值在最坏的情况下可能会有~3e-16的误差（绝对值），这就是实际情况（这个计算并不是要给出确切值，而只是要给出正确的数量级，结果是对的）。

现在，math.sin(math.pi/2) == 1这个结果并不让人惊讶：根据上面的推理，math.pi/2（一个浮点数）与精确值π/2的误差最多大约是2e-16。泰勒展开显示，math.sin(math.pi/2)应该在1的范围内误差不超过2e-32：因此，最接近的浮点数（相对精度大约是1e-16）就是1（浮点数可以精确表示1）。

一般来说，你可以期待对浮点数应用的函数结果与真实值的误差大约是1e-16（或者说结果可能是1e-16而不是0）。