在SciPy中创建低通滤波器 - 理解方法和单位

Question

我正在用Python处理一个嘈杂的心率信号。因为心率一般不会超过每分钟220次，所以我想把超过220次的噪声过滤掉。我把220次每分钟转换成了3.66666666赫兹，然后又把赫兹转换成了弧度每秒，得到了23.0383461弧度/秒。

这个采集数据的芯片的采样频率是30赫兹，所以我把它转换成弧度每秒，得到了188.495559弧度/秒。

在网上查了一些资料后，我找到了一个带通滤波器的函数，我想把它改成低通滤波器。这是带通滤波器代码的链接，所以我把它改成了这样：

from scipy.signal import butter, lfilter
from scipy.signal import freqs

def butter_lowpass(cutOff, fs, order=5):
    nyq = 0.5 * fs
    normalCutoff = cutOff / nyq
    b, a = butter(order, normalCutoff, btype='low', analog = True)
    return b, a

def butter_lowpass_filter(data, cutOff, fs, order=4):
    b, a = butter_lowpass(cutOff, fs, order=order)
    y = lfilter(b, a, data)
    return y

cutOff = 23.1 #cutoff frequency in rad/s
fs = 188.495559 #sampling frequency in rad/s
order = 20 #order of filter

#print sticker_data.ps1_dxdt2

y = butter_lowpass_filter(data, cutOff, fs, order)
plt.plot(y)

不过我对此感到很困惑，因为我很确定这个 butter 函数需要输入截止频率和采样频率（以弧度每秒为单位），但我似乎得到了奇怪的输出。难道它实际上是以赫兹为单位的吗？

其次，这两行代码的目的是什么：

    nyq = 0.5 * fs
    normalCutoff = cutOff / nyq

我知道这和归一化有关，但我以为奈奎斯特频率是采样频率的两倍，而不是一半。那为什么要用奈奎斯特频率作为归一化的标准呢？

有人能多解释一下如何用这些函数创建滤波器吗？

我用以下代码绘制了滤波器：

w, h = signal.freqs(b, a)
plt.plot(w, 20 * np.log10(abs(h)))
plt.xscale('log')
plt.title('Butterworth filter frequency response')
plt.xlabel('Frequency [radians / second]')
plt.ylabel('Amplitude [dB]')
plt.margins(0, 0.1)
plt.grid(which='both', axis='both')
plt.axvline(100, color='green') # cutoff frequency
plt.show()

结果显示明显没有在23弧度/秒处截止：

Answer 1

几点说明：

• 奈奎斯特频率是采样率的一半。
• 你正在处理的是定期采样的数据，所以你需要使用数字滤波器，而不是模拟滤波器。这意味着在调用butter时，不应该使用analog=True，而应该使用scipy.signal.freqz（而不是freqs）来生成频率响应。
• 这些小工具函数的一个目标是让你可以将所有频率都用赫兹（Hz）表示。你不需要转换成弧度每秒（rad/sec）。只要你用一致的单位表示频率，SciPy函数中的fs参数会帮你处理缩放问题。

这是我修改过的脚本版本，后面是它生成的图。

import numpy as np
from scipy.signal import butter, lfilter, freqz
import matplotlib.pyplot as plt


def butter_lowpass(cutoff, fs, order=5):
    return butter(order, cutoff, fs=fs, btype='low', analog=False)

def butter_lowpass_filter(data, cutoff, fs, order=5):
    b, a = butter_lowpass(cutoff, fs, order=order)
    y = lfilter(b, a, data)
    return y


# Filter requirements.
order = 6
fs = 30.0       # sample rate, Hz
cutoff = 3.667  # desired cutoff frequency of the filter, Hz

# Get the filter coefficients so we can check its frequency response.
b, a = butter_lowpass(cutoff, fs, order)

# Plot the frequency response.
w, h = freqz(b, a, fs=fs, worN=8000)
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(w, np.abs(h), 'b')
plt.plot(cutoff, 0.5*np.sqrt(2), 'ko')
plt.axvline(cutoff, color='k')
plt.xlim(0, 0.5*fs)
plt.title("Lowpass Filter Frequency Response")
plt.xlabel('Frequency [Hz]')
plt.grid()


# Demonstrate the use of the filter.
# First make some data to be filtered.
T = 5.0         # seconds
n = int(T * fs) # total number of samples
t = np.linspace(0, T, n, endpoint=False)
# "Noisy" data.  We want to recover the 1.2 Hz signal from this.
data = np.sin(1.2*2*np.pi*t) + 1.5*np.cos(9*2*np.pi*t) + 0.5*np.sin(12.0*2*np.pi*t)

# Filter the data, and plot both the original and filtered signals.
y = butter_lowpass_filter(data, cutoff, fs, order)

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, data, 'b-', label='data')
plt.plot(t, y, 'g-', linewidth=2, label='filtered data')
plt.xlabel('Time [sec]')
plt.grid()
plt.legend()

plt.subplots_adjust(hspace=0.35)
plt.show()