cvxopt无法解决简单线性优化问题

Question

我有一个模型

 min c' x
 s.t.
 G x <= h
 x are integers or binary variables

其中 c 是一个 16x1 的 numpy 数组，里面存放的是系数；G 是一个 12 x 16 的矩阵，表示模型的约束条件；而 h 是一个 12x1 的全是 1 的数组。

::::::::::::::
c
::::::::::::::
-0.00
-0.38
0.12
0.12
-0.38
-0.00
0.12
0.12
0.12
0.12
-0.00
-0.38
0.12
0.12
-0.38
-0.00
::::::::::::::
G
::::::::::::::
0 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
::::::::::::::
h
::::::::::::::
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

根据 cvxopt 的文档，我认为这个模型应该作为一个线性规划来实现，并用 lp 求解器来解决。

cvxopt.solvers.lp(c=cvxopt.matrix(c), G=cvxopt.matrix(G), h=cvxopt.matrix(h) )

但是我遇到了这个错误：

/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/cvxopt/coneprog.pyc in lp(c, G, h, A, b, solver, primalstart, dualstart)
   3006 
   3007     return conelp(c, G, h, {'l': m, 'q': [], 's': []}, A,  b, primalstart,
-> 3008         dualstart)
   3009 
   3010 

/usr/local/lib/python2.7/dist-packages/cvxopt/coneprog.pyc in conelp(c, G, h, dims, A, b, primalstart, dualstart, kktsolver, xnewcopy, xdot, xaxpy, xscal, ynewcopy, ydot, yaxpy, yscal)
    572     if kktsolver in defaultsolvers:
    573         if b.size[0] > c.size[0] or b.size[0] + cdim_pckd < c.size[0]:
--> 574            raise ValueError("Rank(A) < p or Rank([G; A]) < n")
    575         if kktsolver == 'ldl':
    576             factor = misc.kkt_ldl(G, dims, A, kktreg = KKTREG)

ValueError: Rank(A) < p or Rank([G; A]) < n

而使用 cvxopt 的 glpk 接口实际上运行得很顺利，并且给出了不错的解决方案：

(status, sol) = cvxopt.glpk.ilp(c=cvxopt.matrix(c),   # c parameter
                                G=cvxopt.matrix(G),     # G parameter
                                h=cvxopt.matrix(h),     # h parameter
                                I=set(range(0, len(c))),
                                B=set(range(0, len(c)))
                                )

我该如何让 lp 求解器在 cvxopt 中对这个问题有效呢？

Answer 1

我不太确定，但我觉得这个问题更像是数学问题，而不是代码问题。

你的矩阵的尺寸是 c 是 16 x 1，G 是 16 x 12，而 h 是 12 x 1。但是，矩阵 G 的秩要低得多。实际上，在16个 x 的值中，有10个没有约束条件。对程序来说，这就变成了一个不可行的解，因为最小值会是负无穷。

举个例子，对于 x[14]，在 G 和 h 中没有约束条件，它可以是任何值。在最小化的函数中 c[14] = -0.38，所以最小化的值会是 x[14] = +inf，这就导致了结果 -inf = min c'x。

这就是你描述的错误的解释：

ValueError: Rank(A) < p or Rank([G; A]) < n

这部分代码出现在不同的地方，通常用来检查问题的维度，并确定是否有足够的约束条件来解决这个问题。

我解决了这个问题，但忽略了任何没有约束的 x 值。结果仍然是不可行的，但这可能是由于约束条件或其他错误造成的……

[Previous definition of the matrices]
>>> index = [1,2,3,6,7,11]
>>> c = c[index]
>>> G = G[::,index]
>>> cv.solvers.lp(c=c, G=G, h=h )
     pcost       dcost       gap    pres   dres   k/t
 0: -2.8000e-01 -1.3000e+01  1e+01  1e+00  5e+00  1e+00
 1: -1.7954e-01 -1.6503e+00  1e+00  1e-01  6e-01  7e-03
 2:  1.0328e-01 -1.5888e+01  1e+03  1e+00  6e+00  8e-01
 3: -1.1620e+01 -3.8498e+00  5e+03  3e-01  1e+00  1e+01
 4: -1.1605e+03 -3.8498e+00  5e+05  3e-01  1e+00  1e+03
 5: -1.1604e+05 -3.8498e+00  5e+07  3e-01  1e+00  1e+05
 6: -1.1604e+07 -3.8498e+00  5e+09  3e-01  1e+00  1e+07
 7: -1.1604e+09 -3.8498e+00  5e+11  3e-01  1e+00  1e+09
 Certificate of dual infeasibility found.
{'status': 'dual infeasible', 'dual slack': None, 'iterations': 7, 'residual as primal
infeasibility certificate': None, 'relative gap': None, 'dual objective': None, 
'residual as dual infeasibility certificate': 1.1035651154462114e-09, 'gap': None, 
's': <12x1 matrix, tc='d'>, 'primal infeasibility': None, 'dual infeasibility': None, 
'primal objective': -1.0, 'primal slack': 94.0289560690342, 'y': None, 'x': <6x1 
matrix, tc='d'>, 'z': None}

如果我错了，请随时纠正我。