为什么Python的取模操作符 (%) 不符合欧几里得定义？

Question

欧几里得的定义是这样的：

给定两个整数 a 和 b，且 b 不等于 0，存在唯一的整数 q 和 r，使得 a = bq + r，并且 0 ≤ r < |b|，这里 |b| 表示 b 的绝对值。

根据下面的观察：

>>> -3 % -2   # Ideally it should be (-2 * 2) + 1
-1
>>> -3 % 2    # this looks fine, (-2 * 2) + 1 
1
>>> 2 % -3    # Ideally it should be (-3 * 0) + 2
-1

看起来 % 这个运算符的规则有些不同。

• 链接1 没什么帮助，
• 链接2 给出了递归的答案，因为我不太明白 % 是怎么工作的，所以理解 (a // b) * b + (a % b) == a 是怎么成立的也很困难。

我的问题是：

我该如何理解 Python 中取模运算符的行为？我对其他语言中 % 运算符的工作方式也不太了解。

Answer 1

整数除法和取模运算的行为在一篇关于Python历史的文章中有解释，具体内容可以参考这篇文章：为什么Python的整数除法向下取整。我来引用相关的部分：

如果其中一个操作数是负数，结果会向下取整，也就是朝着负无穷的方向取整：

>>> -5//2
-3
>>> 5//-2
-3

这让一些人感到困扰，但其实有很好的数学原因。整数除法运算（//）和取模运算（%）是相互关联的，并且满足一个很好的数学关系（所有变量都是整数）：

a/b = q，余数为r

满足以下条件：

b*q + r = a 且 0 <= r < b

（假设a和b都是大于等于0的）。

如果你想让这个关系适用于负的a（保持b为正），你有两个选择：如果你把q向零截断，r会变成负数，这样不等式就变成了0 <= abs(r)；否则，你可以把q向负无穷取整，这样不等式保持为0 <= r < b。

在数学数论中，数学家们总是更倾向于后者的选择（可以参考维基百科）。对于Python，我也做了同样的选择，因为在某些有趣的取模运算中，a的符号并不重要。

顺便提一下，对于负的b，一切都会翻转，不等式变为：

0 >= r > b.

换句话说，Python在某些情况下选择了“打破”欧几里得定义，以获得在“有趣的情况下”更好的表现。特别是，负的a被认为是有趣的，而负的b则被认为不那么重要。这是一个完全任意的选择，不同编程语言之间并不一致。

需要注意的是，许多常见的编程语言（如C、C++、Java等）并不满足欧几里得不等式，往往在比Python更多的情况下（例如，即使b是正数时）。其中一些语言甚至对余数的符号没有任何保证，留给实现者自行定义。

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附带说明一下：Haskell提供了两种类型的取模和除法。标准的欧几里得取模和除法分别称为rem和quot，而向下取整的除法和“Python风格”的取模则称为mod和div。