四维数据插值

Question

我有一组GPS站点，知道它们的坐标（x,y,z），每个站点还有一个误差（e）。这些站点的分布并不均匀，要是均匀的话就太简单了。我的问题是，为了计算某个站点的误差e，我只用到了这个站点的信息，但我也想考虑到其他站点的影响。

我的问题是：给定一组分布不均的（x,y,z,e）点，我该如何根据点之间的空间距离来推算e的值？

推算的结果不需要完全准确，因为我是在重新计算那些我已经知道e值的点。而且，我希望找到一种比反距离法更简洁的方法，比如说样条插值就不错。

根据我看到的，scipy.interpolate包里的splev函数似乎可以解决这个问题，但我不太明白它是怎么工作的，或者我应该给它什么参数。

如果有人能解释一下这个函数是怎么用的，或者推荐其他方法，那就太好了。

Answer 1

如果我理解你的问题没错的话，你是在说有一个空间中的点 x,y,z，你想通过已知的测站来计算这个点的误差。你还提到，误差的有效性取决于这个已知误差点的距离。

所以，对于点 x,y,z，你可以计算它与每个已知接收站的距离。然后，你会根据这些距离计算一些权重函数。最后，你通过这些权重函数来计算加权平均值（或者可能用其他方法来排除异常值）。

这样做怎么样：

# known station coordinates (number of rows matching number of stations)
coords = array([
    (x1, y1, z1),
    (x2, y2, z2),
    ... ])
# respective error values (number of items matching number of stations)
err_values = array([
    e1,
    e2),
    ... ])

# p is a three-element array representing our coordinates
# distances will contain the spatial euclidian distances to the stations 
distances = numpy.linalg.norm(coords - p[None,:], axis=1)

# get the weights somehow
weights = my_weight_function(distances)

# return the weighted average
return numpy.average(err_values, weights=weights)

还有一个小技巧，特别是在这种情况下可能会有用。最后一句可以换成：

return numpy.sum(err_values * weights) / (eps + numpy.sum(weights))

基本上是一个加权和，不过在分母里加一个小数 eps。这里的关键是，既然我们在讨论误差，距离已知点很远的地方，误差应该是零。否则，我们可能会得到地球另一边的已知误差作为误差，这显然不合理。唯一合理的假设是，远离已知点的地方误差是零。虽然实际上并不是这样，但我们也没有更好的办法，所以零是我们最好的猜测。

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如果我理解你的问题有误，请告诉我。（如果你把插值问题看作是提高地球表面精度的方法，那么实际上你是在处理一个二维问题，而不是一个真正的三维问题。）